Referência
Progressão Geométrica (PG) Termo geral: aₙ = a₁ × q^(n-1) Soma finita: Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1) (q ≠ 1) Soma infinita: S∞ = a₁ / (1 - q) (|q| < 1) Classificação: q > 1 → PG crescente 0 < q < 1 → PG decrescente convergente q < 0 → PG oscilante q = 1 → PG constante
Perguntas Frequentes
O que é uma Progressão Geométrica (PG)?
Uma PG é uma sequência numérica onde a razão entre dois termos consecutivos é sempre constante. Essa constante é chamada de razão (q). Exemplos: (2, 6, 18, 54, ...) com q = 3; (100, 50, 25, 12.5, ...) com q = 0,5.
Qual a fórmula do termo geral da PG?
A fórmula do termo geral é aₙ = a₁ × q^(n-1), onde a₁ é o primeiro termo, q é a razão e n é a posição desejada. A PG cresce exponencialmente quando |q| > 1 e decresce quando |q| < 1.
Como calcular a soma finita de uma PG?
Para q ≠ 1, a soma dos n primeiros termos é Sₙ = a₁ × (qⁿ - 1) / (q - 1). Para q = 1, todos os termos são iguais a a₁, então Sₙ = a₁ × n. A fórmula é deduzida multiplicando Sₙ por q e subtraindo as equações.
Quando a soma infinita de uma PG converge?
A soma infinita S∞ = a₁ / (1 - q) só existe quando |q| < 1, ou seja, a razão está entre -1 e 1 (exclusive). Nesse caso, os termos se aproximam de zero e a soma converge. Exemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2.
Qual a diferença entre PA e PG?
Na PA, somamos a razão (r) para ir de um termo ao próximo — crescimento linear. Na PG, multiplicamos pela razão (q) — crescimento exponencial. PAs modelam fenômenos lineares; PGs modelam juros compostos, crescimento populacional e decaimento radioativo.
Quais as aplicações da PG?
PGs aparecem em: juros compostos (montante = C × (1+i)ⁿ), crescimento/decaimento exponencial, depreciação percentual de bens, escala musical (frequências), fractais, probabilidade geométrica, e cálculo de parcelas em financiamentos.